11冊の異なる本を、3冊、3冊、5冊の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

11冊の異なる本を、3冊、3冊、5冊の3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、11冊の中から3冊を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_{11}C_3$で表されます。

残りの8冊の中から、さらに3冊を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_8C_3$で表されます。

最後に、残った5冊は自動的に最後のグループになります。組み合わせは$_5C_5 = 1$です。

ただし、3冊のグループが2つあるため、同じ組み合わせが重複して数えられています。そのため、2つの3冊のグループの順序を考慮しないように、$2!$で割る必要があります。

したがって、計算式は次のようになります。

$$\frac{{}_{11}C_3 \times {}_8C_3 \times {}_5C_5}{2!}$$

それぞれの組み合わせを計算します。

${}_{11}C_3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

${}_5C_5 = 1$

上記の値を計算式に代入します。

$$\frac{165 \times 56 \times 1}{2} = 165 \times 28 = 4620$$

3. 最終的な答え

4620 通り