長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQとする。頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。このとき、(1) BPの長さを求めよ。(2) AG : GQ : QDの比を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQとする。頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。このとき、(1) BPの長さを求めよ。(2) AG : GQ : QDの比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

まず、EP = CPである。BP = xとすると、CP = 9 - xであるから、EP = 9 - xとなる。

直角三角形EBPにおいて、三平方の定理より、

$EB^2 + BP^2 = EP^2$

$3^2 + x^2 = (9-x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

よって、BP = 4cmである。

(2) AG : GQ : QDの比を求める。

まず、FQ = DQである。

また、AQ = 9 - FQ = 9 - DQである。

ここで、四角形ABCDは長方形なので、AD = BC = 9cmである。したがって、DQ = AD - AQ = 9 - AQとなる。

よって、AQ = 9 - DQ = 9 - (9 - AQ)となる。

次に、三角形AEGと三角形FEGについて考える。

AE = AB - BE = 5 - 3 = 2cmである。

また、EF = CD = 9cmである。

点PからADに垂線を下ろし、交点をHとする。三角形AEGと三角形FQGは相似なので、

AG/FQ = AE/FC

FQ = DQ = xとすると、AQ = 9 - x。

三角形AEGと三角形FDQは相似である。

AG/DQ = AE/DF

AG/FQ = AE/FC = AE/CD = 2/9。

DQ = FC = 9-AQ.

AG/DQ = AE/DF

三角形AEGと三角形FGQが相似であることから、

AE / FQ = AG / GQ = EG / FG。

また、三角形AEGと三角形DFQが相似であることから、

AE / DF = AG / DQ = EG / FQ。

ここで、AE = 2、BE = 3、BC = 9である。

BP = 4より、PC = 5。また、EC = 3。

GQ = (9*AE)/(EF - AE)= (9*2)/(9-2) = 18/7

三角形AEG∽三角形FQGであることから、AG:GQ = AE:QF = 2:QF.

四角形EPCFはひし形なので、EF平行PC、EF = EC。

よって角AEG = 角CQG。

AE/FQ = AG/GQ = 2/DF

AG:GQ:QD = 4:9:

1

2. AG:GQ:QD = 2/7:18/49:39/49 =

3. 最終的な答え

(1) BPの長さ：4cm

(2) AG : GQ : QD = 4 : 9 : 12