組み合わせの問題で、${}_8 \mathrm{C}_5$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

組み合わせの問題で、${}_8 \mathrm{C}_5$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式を利用します。

${}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

今回の問題では、$n=8$、$r=5$ なので、

${}_8 \mathrm{C}_5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!}$

となります。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、

${}_8 \mathrm{C}_5 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56$

また、${}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r}$ を利用して、

${}_8 \mathrm{C}_5 = {}_8 \mathrm{C}_{8-5} = {}_8 \mathrm{C}_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

と計算することもできます。

3. 最終的な答え

56