与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 4x + 11y - 5$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 4x + 11y - 5$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式と見て整理します。

$x^2 + (y+4)x - (2y^2 - 11y + 5)$

次に、定数項 $2y^2 - 11y + 5$ を因数分解します。

$2y^2 - 11y + 5 = (2y-1)(y-5)$

したがって、

$-(2y^2 - 11y + 5) = -(2y-1)(y-5) = (1-2y)(y-5)$

与えられた式は、

$x^2 + (y+4)x + (1-2y)(y-5)$

$(x+ay+b)(x+cy+d)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると

$x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

となります。

これと、$x^2 + (y+4)x - 2y^2 + 11y - 5$　を比較すると

$a+c = 1$

$b+d = 4$

$ac = -2$

$ad+bc = 11$

$bd = -5$

となります。

$a=2, c=-1, b=-1, d=5$とすると、

$a+c = 2-1 = 1$

$b+d = -1+5 = 4$

$ac = 2(-1) = -2$

$ad+bc = 2(5) + (-1)(-1) = 10 + 1 = 11$

$bd = (-1)(5) = -5$

これらはすべて満たします。

したがって、因数分解の結果は

$(x+2y-1)(x-y+5)$

3. 最終的な答え

$(x+2y-1)(x-y+5)$