A君とB君がじゃんけんを5回行うとき、A君が3回勝つ確率を求める。ただし、引き分けは回数に含む。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを5回行うとき、A君が3回勝つ確率を求める。ただし、引き分けは回数に含む。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率、負ける確率、引き分ける確率を考える。

* A君が勝つ確率：1/3

* A君が負ける確率：1/3

* 引き分ける確率：1/3

5回のじゃんけんでA君が3回勝つ場合を考える。引き分けの回数を $k$ とすると、A君が負ける回数は $5 - 3 - k = 2 - k$ 回となる。ここで、$k$ は 0, 1, 2 のいずれかである。

それぞれの $k$ について、確率を計算する。

* $k=0$ のとき（A君が3回勝ち、2回負ける）：

確率は、二項定理を用いて

${}_5 C_3 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{1}{3^5} = \frac{10}{243}$

* $k=1$ のとき（A君が3回勝ち、1回引き分け、1回負ける）：

確率は、多項定理を用いて

$\frac{5!}{3!1!1!} \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^1 = 20 \times \frac{1}{3^5} = \frac{20}{243}$

* $k=2$ のとき（A君が3回勝ち、2回引き分け、0回負ける）：

確率は、多項定理を用いて

$\frac{5!}{3!2!0!} \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^0 = 10 \times \frac{1}{3^5} = \frac{10}{243}$

これらの確率を足し合わせる。

$\frac{10}{243} + \frac{20}{243} + \frac{10}{243} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$