問題1では、3次関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 54$ について、(1) 極大値、極小値をとる$x$の値を求め、(2) 区間 $0 \le x \le 6$ における最小値を求めます。 問題2では、$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a-6)x + 5$ について、関数 $y = f(x)$ が極値をもつ$a$の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題1では、3次関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 54$ について、(1) 極大値、極小値をとる$x$の値を求め、(2) 区間 $0 \le x \le 6$ における最小値を求めます。

問題2では、$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a-6)x + 5$ について、関数 $y = f(x)$ が極値をもつ$a$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

**問題1 (1)**

まず、$f(x)$を微分します。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0$ となるのは $x=1, 3$

$x<1$ のとき $f'(x) < 0$

$1<x<3$ のとき $f'(x) > 0$

$x>3$ のとき $f'(x) < 0$

したがって、$x=1$で極大、$x=3$で極小となる。

**問題1 (2)**

区間 $0 \le x \le 6$ における最小値を求める。

$f(0) = 54$

$f(1) = -1 + 6 - 9 + 54 = 50$

$f(3) = -27 + 54 - 27 + 54 = 54$

$f(6) = -216 + 216 - 54 + 54 = 0$

したがって、最小値は $0$

**問題2**

$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a-6)x + 5$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + (3a-6)$

$f(x)$が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる２つの実数解を持つ必要があります。

つまり、$f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (2a)^2 - 4(3)(3a-6) = 4a^2 - 36a + 72 = 4(a^2 - 9a + 18) = 4(a-3)(a-6)$

$D > 0$ より、$(a-3)(a-6) > 0$

したがって、$a < 3$ または $a > 6$

3. 最終的な答え

問題1 (1): 1 には 1, 2 には 3

問題1 (2): 3 には 2

問題2: 4 には 3