袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の総数を計算します。次に、3個とも白玉でない（つまり、赤玉か青玉のみ）取り出し方の数を計算します。

少なくとも1個が白玉である確率は、1から「3個とも白玉でない」確率を引くことで計算できます。

* 玉の総数は $3+4+5=12$ 個です。

* 3個の玉を取り出す取り出し方の総数は $_{12}C_3$ 通りです。

$$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$$

* 3個とも白玉でない（赤玉か青玉）取り出し方の総数を計算します。赤玉と青玉の合計は $3+5=8$ 個なので、この中から3個選ぶ組み合わせは $_{8}C_3$ 通りです。

$$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$$

* 3個とも白玉でない確率を計算します。

$$\frac{_{8}C_3}{_{12}C_3} = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$$

* 少なくとも1個が白玉である確率は、1から3個とも白玉でない確率を引いて計算します。

$$1 - \frac{14}{55} = \frac{55 - 14}{55} = \frac{41}{55}$$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$