袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っています。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すという試行を4回繰り返します。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めます。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っています。この袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すという試行を4回繰り返します。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。したがって、白玉が出る確率は $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。

4回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布の考え方を用いて計算できます。二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$

で与えられます。ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は1回の試行での成功確率です。

この問題では、$n = 4$, $k = 2$, $p = \frac{2}{3}$ です。したがって、赤玉が2回出る確率は、

$P(X=2) = {}_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^{4-2} = {}_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$

となります。

${}_4C_2$ は組み合わせの数で、${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ です。

したがって、

$P(X=2) = 6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$