袋の中に白玉7個、黒玉5個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この袋の中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色がすべて同じである確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉7個、黒玉5個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この袋の中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色がすべて同じである確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋の中に入っている玉の総数は $7 + 5 + 3 + 1 = 16$ 個である。

この16個の中から3個の玉を取り出す場合の総数は、組み合わせの公式を用いて計算できる。

組み合わせの公式は $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ であり、$n$ 個から $r$ 個を選ぶ組み合わせの数を表す。

したがって、16個から3個を選ぶ組み合わせの総数は、

$_{16}C_3 = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$

次に、3個の玉の色がすべて同じになる場合を考える。

- 白玉の場合: 7個から3個を選ぶので、$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

- 黒玉の場合: 5個から3個を選ぶので、$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

- 赤玉の場合: 3個から3個を選ぶので、$_{3}C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

- 青玉の場合: 1個しかないため、3個とも同じ色になることはない。

したがって、3個の玉の色がすべて同じになる場合の数は、$35 + 10 + 1 = 46$ である。

求める確率は、3個の玉の色がすべて同じになる場合の数を、3個の玉を取り出す場合の総数で割ったものである。

確率 $= \frac{46}{560} = \frac{23}{280}$

3. 最終的な答え

$\frac{23}{280}$