ハートのカード8枚とダイヤのカード9枚、合計17枚のカードがある。ここから1枚ずつカードを2枚選ぶ（ただし、1枚目のカードは元に戻さない）。 事象A: 1枚目にハートを選ぶ 事象B: 1枚目にダイヤを選ぶ 事象C: 2枚目にハートを選ぶ 条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

ハートのカード8枚とダイヤのカード9枚、合計17枚のカードがある。ここから1枚ずつカードを2枚選ぶ（ただし、1枚目のカードは元に戻さない）。

事象A: 1枚目にハートを選ぶ

事象B: 1枚目にダイヤを選ぶ

事象C: 2枚目にハートを選ぶ

条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

条件付き確率の定義より、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}$

まず、$P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap C)$, $P(B \cap C)$ を求める。

$P(A)$: 1枚目にハートを引く確率。ハートは8枚なので、$P(A) = \frac{8}{17}$

$P(B)$: 1枚目にダイヤを引く確率。ダイヤは9枚なので、$P(B) = \frac{9}{17}$

$P(A \cap C)$: 1枚目にハート、2枚目にハートを引く確率。

1枚目にハートを引く確率は $\frac{8}{17}$。このとき、残り16枚のカードのうちハートは7枚なので、2枚目にハートを引く確率は $\frac{7}{16}$。

したがって、$P(A \cap C) = \frac{8}{17} \times \frac{7}{16} = \frac{56}{272} = \frac{7}{34}$

$P(B \cap C)$: 1枚目にダイヤ、2枚目にハートを引く確率。

1枚目にダイヤを引く確率は $\frac{9}{17}$。このとき、残り16枚のカードのうちハートは8枚なので、2枚目にハートを引く確率は $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。

したがって、$P(B \cap C) = \frac{9}{17} \times \frac{8}{16} = \frac{72}{272} = \frac{9}{34}$

よって、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{7}{34}}{\frac{8}{17}} = \frac{7}{34} \times \frac{17}{8} = \frac{7}{2 \times 17} \times \frac{17}{8} = \frac{7}{16}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{34}}{\frac{9}{17}} = \frac{9}{34} \times \frac{17}{9} = \frac{1}{2 \times 17} \times \frac{17}{1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{7}{16}$

$P_B(C) = \frac{1}{2}$