関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ が与えられており、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ であるとき、$h(x)$ は $a \le x \le b$ で増加すると述べられています。問題は、なぜ $a \le x \le b$ のように不等号に等号が含まれるのかを問うています。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ が与えられており、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ であるとき、$h(x)$ は $a \le x \le b$ で増加すると述べられています。問題は、なぜ $a \le x \le b$ のように不等号に等号が含まれるのかを問うています。

2. 解き方の手順

関数の増加を考える際に、微分 $h'(x)$ の符号が重要になります。

$h'(x) > 0$ は、$a < x < b$ の範囲で $h(x)$ が厳密に増加することを示しています。つまり、$a$ と $b$ の間の任意の $x_1$ と $x_2$ ($x_1 < x_2$) に対して、$h(x_1) < h(x_2)$ が成り立ちます。

しかし、区間の端点 $a$ と $b$ では、$h'(x) > 0$ という条件は必ずしも成り立ちません。関数 $h(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であれば、$a$ と $b$ を含めて $h(x)$ が増加すると言えます。

$h(x)$ が $a$ で連続であれば、$x$ が $a$ に近づくとき、$h(x)$ は $h(a)$ に近づきます。同様に、$h(x)$ が $b$ で連続であれば、$x$ が $b$ に近づくとき、$h(x)$ は $h(b)$ に近づきます。したがって、$h(x)$ が $a \le x \le b$ で連続であれば、その範囲で $h(x)$ は増加します。

3. 最終的な答え

$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ であり、$h(x)$ が $a$ と $b$ で連続であれば、$h(x)$ は $a \le x \le b$ で増加します。不等号に等号が含まれるのは、$h(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であることを前提としているからです。言い換えれば、区間の端点を含めて増加関数であることを保証するために、等号を含める必要があります。