パラメータ表示された曲線 $C$ 上を動く点 $P(x,y)$ について、以下の問いに答える問題です。 $x = 3(t-\sin t)$, $y = 3(1-\cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) (1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの $P$ の座標、および $P$ における $C$ の接線の傾きと $y$ 切片を求めます。 (2) $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。 (3) 時刻 $t$ における $P$ の速さを求め、速さが最大となるときの $P$ の座標と、加速度の大きさを求めます。 (4) 曲線 $C$ の長さを求めます。 (5) 時刻 $0$ から $t_0$ までの間に $P$ が動く道のりが、時刻 $t_0$ から $2\pi$ までの間に $P$ が動く道のりの2倍であるとき、時刻 $t_0$ の $P$ の $y$ 座標を求めます。

1. 問題の内容

パラメータ表示された曲線 $C$ 上を動く点 $P(x,y)$ について、以下の問いに答える問題です。

$x = 3(t-\sin t)$, $y = 3(1-\cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)

(1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの $P$ の座標、および $P$ における $C$ の接線の傾きと $y$ 切片を求めます。

(2) $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

(3) 時刻 $t$ における $P$ の速さを求め、速さが最大となるときの $P$ の座標と、加速度の大きさを求めます。

(4) 曲線 $C$ の長さを求めます。

(5) 時刻 $0$ から $t_0$ までの間に $P$ が動く道のりが、時刻 $t_0$ から $2\pi$ までの間に $P$ が動く道のりの2倍であるとき、時刻 $t_0$ の $P$ の $y$ 座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$x = 3(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 3(\frac{\pi}{2} - 1)$

$y = 3(1 - \cos \frac{\pi}{2}) = 3(1 - 0) = 3$

よって、座標は $(\frac{3\pi}{2} - 3, 3)$

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin t}{3(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{1 - \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1$

接線の傾きは $1$

接線の方程式は、

$y - 3 = 1(x - (\frac{3\pi}{2} - 3))$

$y = x - \frac{3\pi}{2} + 3 + 3 = x - \frac{3\pi}{2} + 6$

よって、$y$ 切片は $-\frac{3\pi}{2} + 6$

(2)

$y = 3(1 - \cos t) \ge 0$ より、常に $x$ 軸の上側にある。

面積は $S = \int_0^{6\pi} y \, dx = \int_0^{2\pi} 3(1 - \cos t) \cdot 3(1 - \cos t) \, dt = 9 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt$

$S = 9 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) \, dt = 9 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) \, dt$

$S = 9 \int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2} \cos 2t) \, dt = 9 [\frac{3}{2} t - 2\sin t + \frac{1}{4} \sin 2t]_0^{2\pi}$

$S = 9(\frac{3}{2} \cdot 2\pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0)) = 9(3\pi) = 18 \pi$

(3)

速さ $v = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{(3(1 - \cos t))^2 + (3\sin t)^2} = 3 \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}$

$v = 3 \sqrt{2 - 2\cos t} = 3 \sqrt{2(1 - \cos t)} = 3 \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \frac{t}{2}} = 6 |\sin \frac{t}{2}|$

$0 \le t \le 2\pi$ より、 $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin \frac{t}{2} \ge 0$

$v = 6 \sin \frac{t}{2}$

速さが最大となるのは $\sin \frac{t}{2} = 1$ のとき、すなわち $\frac{t}{2} = \frac{\pi}{2}$ より $t = \pi$

$x = 3(\pi - \sin \pi) = 3\pi$

$y = 3(1 - \cos \pi) = 3(1 - (-1)) = 6$

座標は $(3\pi, 6)$

加速度 $a_x = \frac{d^2 x}{dt^2} = 3\sin t$

$a_y = \frac{d^2 y}{dt^2} = 3\cos t$

加速度の大きさ $|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = 3 \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 3$

(4)

$C$ の長さ $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt = \int_0^{2\pi} 6 \sin \frac{t}{2} \, dt = 6 [-2\cos \frac{t}{2}]_0^{2\pi} = -12(\cos \pi - \cos 0) = -12(-1 - 1) = 24$

(5)

時刻 $0$ から $t_0$ までの道のり $L_1 = \int_0^{t_0} 6 \sin \frac{t}{2} \, dt = 6 [-2 \cos \frac{t}{2}]_0^{t_0} = -12 (\cos \frac{t_0}{2} - 1) = 12 (1 - \cos \frac{t_0}{2})$

時刻 $t_0$ から $2\pi$ までの道のり $L_2 = \int_{t_0}^{2\pi} 6 \sin \frac{t}{2} \, dt = 6 [-2 \cos \frac{t}{2}]_{t_0}^{2\pi} = -12 (\cos \pi - \cos \frac{t_0}{2}) = -12(-1 - \cos \frac{t_0}{2}) = 12 (1 + \cos \frac{t_0}{2})$

$L_1 = 2L_2$ より、

$12 (1 - \cos \frac{t_0}{2}) = 2 \cdot 12 (1 + \cos \frac{t_0}{2})$

$1 - \cos \frac{t_0}{2} = 2 + 2 \cos \frac{t_0}{2}$

$3 \cos \frac{t_0}{2} = -1$

$\cos \frac{t_0}{2} = -\frac{1}{3}$

$y = 3(1 - \cos t_0) = 3(1 - (2\cos^2 \frac{t_0}{2} - 1)) = 3(1 - (2 \cdot \frac{1}{9} - 1)) = 3(1 - \frac{2}{9} + 1) = 3(2 - \frac{2}{9}) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{3\pi}{2} - 3, 3)$, $1$, $-\frac{3\pi}{2} + 6$

(2) $18\pi$

(3) $6 \sin \frac{t}{2}$, $(3\pi, 6)$, $3$

(4) $24$

(5) $\frac{16}{3}$