$h(x) = g(x) - f(x)$ のとき、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ ならば、$h(x)$ は $a \leq x \leq b$ で増加する。なぜ $a \leq x \leq b$ になるのかという質問です。つまり、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ なら、$h(x)$ が $a$ と $b$ においても増加関数であるといえるのはなぜか、という質問です。

1. 問題の内容

$h(x) = g(x) - f(x)$ のとき、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ ならば、$h(x)$ は $a \leq x \leq b$ で増加する。なぜ $a \leq x \leq b$ になるのかという質問です。つまり、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ なら、$h(x)$ が $a$ と $b$ においても増加関数であるといえるのはなぜか、という質問です。

2. 解き方の手順

$h'(x) > 0$ は、$h(x)$ が区間 $(a, b)$ で厳密に増加関数であることを意味します。つまり、$a < x_1 < x_2 < b$ ならば $h(x_1) < h(x_2)$ となります。

$h'(x) > 0$ が $a < x < b$ で成り立つ場合、 $h(x)$ は連続関数であることを仮定します。 $h'(x)$ は導関数なので、$h(x)$ が微分可能であることは、$h(x)$ が連続であることを意味します。

連続関数であれば、区間の端点においても増加性について議論できます。

$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$h(x)$ は $h(a)$ に近づき、$x$ が $b$ に限りなく近づくとき、$h(x)$ は $h(b)$ に近づきます。

$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ であることから、$x$ が $a$ に近づくとき、$h(x)$ は $h(a)$ より大きい値から近づいてきます。同様に、$x$ が $b$ に近づくとき、$h(x)$ は $h(b)$ より小さい値から近づいてきます。

したがって、$h(x)$ は区間 $[a, b]$ で増加関数であると言うことができます。すなわち、$a \leq x_1 < x_2 \leq b$ ならば $h(x_1) \leq h(x_2)$ が成り立ちます。

特に、$h'(x) > 0$ であれば、 $h(x_1) = h(x_2)$ となることはないので、$h(x_1) < h(x_2)$ が成り立ちます。

要するに、$a < x < b$ で $h'(x) > 0$ ならば、$h(x)$ は閉区間 $[a, b]$ でも増加関数となり、$a \leq x \leq b$ で増加すると言えます。

3. 最終的な答え

$a<x<b$で$h'(x)>0$のとき、関数$h(x)$が連続であれば、$a$と$b$における関数値も考慮に入れることで、$h(x)$は閉区間$[a, b]$、つまり$a \leq x \leq b$で増加すると言えるからです。