$x = -3$ のとき最小値 $-4$ をとり、点 $(-1, 4)$ を通るような2次関数の式を求める。

1. 問題の内容

$x = -3$ のとき最小値 $-4$ をとり、点 $(-1, 4)$ を通るような2次関数の式を求める。

2. 解き方の手順

最小値が与えられているので、求める2次関数は、

$y = a(x - p)^2 + q$

の形でおけると考える。

問題文より、頂点の$x$座標が$p = -3$、頂点の$y$座標(最小値)が$q = -4$であるから、

$y = a(x + 3)^2 - 4$

とおける。

この関数が点 $(-1, 4)$ を通るので、 $x = -1$, $y = 4$ を代入すると、

$4 = a(-1 + 3)^2 - 4$

$4 = a(2)^2 - 4$

$4 = 4a - 4$

$8 = 4a$

$a = 2$

よって、求める2次関数は、

$y = 2(x + 3)^2 - 4$

これを展開して整理すると、

$y = 2(x^2 + 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 + 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 + 12x + 14$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 12x + 14$