2次方程式 $x^2 + (m-1)x + (m+2) = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m-1)x + (m+2) = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が 0 になることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の場合は、$a = 1$, $b = m-1$, $c = m+2$ なので、判別式は

$D = (m-1)^2 - 4(1)(m+2)$

$D = m^2 - 2m + 1 - 4m - 8$

$D = m^2 - 6m - 7$

重解を持つ条件 $D = 0$ より

$m^2 - 6m - 7 = 0$

$(m-7)(m+1) = 0$

よって、$m = 7$ または $m = -1$

(i) $m = 7$ のとき、2次方程式は

$x^2 + (7-1)x + (7+2) = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

(ii) $m = -1$ のとき、2次方程式は

$x^2 + (-1-1)x + (-1+2) = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

3. 最終的な答え

$m = 7$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -1$ のとき、重解は $x = 1$