1から4までの数字が書かれたカードが、それぞれ1枚、3枚、3枚、3枚ある。これらのカードから2枚を続けて引くとき、偶数のカードを引く回数 $X$ の確率分布を求める。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれたカードが、それぞれ1枚、3枚、3枚、3枚ある。これらのカードから2枚を続けて引くとき、偶数のカードを引く回数 $X$ の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、カードの合計枚数は $1 + 3 + 3 + 3 = 10$ 枚である。偶数のカードは、2が書かれたカード3枚と4が書かれたカード3枚で合計6枚、奇数のカードは1が書かれたカード1枚と3が書かれたカード3枚で合計4枚ある。

確率変数 $X$ は偶数のカードを引く回数なので、$X$ の取りうる値は0, 1, 2である。

それぞれの確率を計算する。

- $X = 0$ (2枚とも奇数)の場合:

1枚目に奇数を引き、2枚目も奇数を引く確率である。

$P(X=0) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

- $X = 1$ (1枚だけ偶数)の場合:

1枚目に偶数を引き、2枚目に奇数を引く場合と、1枚目に奇数を引き、2枚目に偶数を引く場合がある。

$P(X=1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

- $X = 2$ (2枚とも偶数)の場合:

1枚目に偶数を引き、2枚目も偶数を引く確率である。

$P(X=2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

確率の合計を確認する。

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

$X=0$ のとき $P(X=0) = \frac{2}{15}$

$X=1$ のとき $P(X=1) = \frac{8}{15}$

$X=2$ のとき $P(X=2) = \frac{1}{3}$

確率分布は以下の通り。

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|---|------|------|------|----|

| P | 2/15 | 8/15 | 1/3 | 1 |