関数 $y = -(x-1)^2 + 2c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-1)^2 + 2c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数 $y = -(x-1)^2 + 2c + 1$ のグラフの形状を考えます。

$x^2$ の係数が負であるため、このグラフは上に凸の放物線です。頂点の $x$ 座標は $x=1$ です。

次に、定義域 $2 \le x \le 4$ における関数の最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれていないため、定義域の端点で最小値を取ります。

$x=2$ と $x=4$ のどちらが最小値を与えるかを判断するために、軸 $x=1$ からの距離を比べます。

$|2-1| = 1$ および $|4-1| = 3$ より、$x=4$ の方が軸から遠いため、$x=4$ で最小値を取ります。

したがって、$x=4$ のときの $y$ の値が $-2$ に等しくなります。

$x=4$ を関数に代入すると、

$y = -(4-1)^2 + 2c + 1 = -3^2 + 2c + 1 = -9 + 2c + 1 = 2c - 8$

これが $-2$ に等しいので、

$2c - 8 = -2$

この方程式を解くと、

$2c = 6$

$c = 3$

3. 最終的な答え

$c = 3$