関数 $y = -2(x+1)^2 + c + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲で最小値が $-12$ であるとき、定数 $c$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x+1)^2 + c + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲で最小値が $-12$ であるとき、定数 $c$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成された形であることから、頂点の $x$ 座標を確認します。

$y = -2(x+1)^2 + c + 2$ の頂点の $x$ 座標は $x = -1$ です。

しかし、定義域が $0 \le x \le 2$ であるため、$x = -1$ は定義域に含まれません。

この関数のグラフは上に凸の放物線なので、定義域の端点で最小値を取ります。

$x=0$ のとき:

$y = -2(0+1)^2 + c + 2 = -2(1)^2 + c + 2 = -2 + c + 2 = c$

$x=2$ のとき:

$y = -2(2+1)^2 + c + 2 = -2(3)^2 + c + 2 = -2(9) + c + 2 = -18 + c + 2 = c - 16$

$x=2$ の時の $y$ の値が $x=0$ の時より小さいので、区間 $0 \le x \le 2$ における最小値は、$x=2$ のときの値である $c-16$ です。

したがって、$c-16 = -12$ という方程式を解いて $c$ の値を求めます。

$c = -12 + 16$

$c = 4$

3. 最終的な答え

$c = 4$