関数 $y = -2(x-2)^2 + 2c + 1$ において、$-1 \le x \le 1$ の範囲での最小値が $-11$ であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x-2)^2 + 2c + 1$ において、$-1 \le x \le 1$ の範囲での最小値が $-11$ であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = -2(x-2)^2 + 2c + 1$ であり、これは上に凸な放物線を表します。軸は $x=2$ です。定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

定義域 $-1 \le x \le 1$ において、軸 $x=2$ はこの範囲に含まれていないため、端点で最小値を取ります。

$x=-1$ のとき、

$y = -2(-1-2)^2 + 2c + 1 = -2(-3)^2 + 2c + 1 = -2(9) + 2c + 1 = -18 + 2c + 1 = 2c - 17$

$x=1$ のとき、

$y = -2(1-2)^2 + 2c + 1 = -2(-1)^2 + 2c + 1 = -2(1) + 2c + 1 = -2 + 2c + 1 = 2c - 1$

軸 $x=2$ から遠い方の端点 $x=-1$ で最小値をとります。したがって、$x=-1$ のときの $y$ の値が最小値 $-11$ となります。

$2c - 17 = -11$

$2c = -11 + 17$

$2c = 6$

$c = 3$

3. 最終的な答え

c = 3