関数 $y = -3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-19$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最小値が $-19$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のグラフの形を考えます。$y = -3(x-1)^2 + c + 1$ は、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, c+1)$ です。

次に、定義域 $2 \le x \le 4$ における関数の最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $1$ であり、これは定義域に含まれていません。

したがって、最小値は定義域の端点でとる可能性があります。

$x=2$ のとき、$y = -3(2-1)^2 + c + 1 = -3(1)^2 + c + 1 = -3 + c + 1 = c - 2$

$x=4$ のとき、$y = -3(4-1)^2 + c + 1 = -3(3)^2 + c + 1 = -3(9) + c + 1 = -27 + c + 1 = c - 26$

$c-2 > c-26$ なので、$x=4$ のとき、関数は最小値をとります。

したがって、$c - 26 = -19$ という方程式が成り立ちます。

この方程式を解くと、

$c = -19 + 26 = 7$

3. 最終的な答え

$c = 7$