点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ACO = 40^\circ$ のとき、$\angle P$を求めよ。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ACO = 40^\circ$ のとき、$\angle P$を求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle ACO = 40^\circ$ であるから、$\triangle OAC$ は $OA = OC$ の二等辺三角形なので、$\angle OAC = 40^\circ$ である。

$\angle BAC = 63^\circ$ であるから、$\angle BAO = \angle BAC - \angle OAC = 63^\circ - 40^\circ = 23^\circ$ である。

$\triangle OAB$ は $OA = OB$ の二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 23^\circ$ である。

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC$ である。ここで$\angle OBC = \angle OCB$ である。

$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB$ であるから、$\angle OCB = \angle ACB - \angle ACO$ である。

$\triangle ABC$ の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ABC + 63^\circ + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 23^\circ + \angle OBC$

$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 40^\circ + \angle OCB$

$23^\circ + \angle OBC + 40^\circ + \angle OCB = 117^\circ$

$\angle OBC + \angle OCB = 117^\circ - 23^\circ - 40^\circ = 54^\circ$

$\triangle OBC$ において $OB = OC$ なので、$\angle OBC = \angle OCB$ であるから、

$2 \angle OBC = 54^\circ$

$\angle OBC = 27^\circ$

したがって、$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 23^\circ + 27^\circ = 50^\circ$

円周角の定理より、$\angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$

中心角と円周角の関係より、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 63^\circ = 126^\circ$

$\angle AOB = 360^\circ - \angle AOC - \angle BOC = 360^\circ - 100^\circ - 126^\circ = 134^\circ$

円周角の定理より、$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 134^\circ = 67^\circ$

$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 40^\circ + \angle OCB = 67^\circ$

$\angle OCB = 67^\circ - 40^\circ = 27^\circ$

$\angle ABC = 50^\circ$ を求めたので、正しい。

$\angle P$は$\angle BAC$に対する中心角なので、$\angle BOC = 2\angle BAC=2\times 63=126^\circ$

$\angle P = 126^\circ$

3. 最終的な答え

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