(3) 相似な2つの正四角錐A, Bがある。Aの体積が24cm³のとき、Bの体積を求める。 (4) 図において、AB = ACであるとき、∠xの大きさを求める。

1. 問題の内容

(3) 相似な2つの正四角錐A, Bがある。Aの体積が24cm³のとき、Bの体積を求める。

(4) 図において、AB = ACであるとき、∠xの大きさを求める。

2. 解き方の手順

(3)

相似比がわかれば体積比がわかるので、そこからBの体積を求める。

正四角錐AとBの底面の正方形の一辺の長さの比は $4:6 = 2:3$である。

相似比が $2:3$ のとき、体積比は $2^3 : 3^3 = 8:27$である。

Aの体積が24 cm³なので、Bの体積をVとすると、

$8:27 = 24:V$

$8V = 24 \times 27$

$V = \frac{24 \times 27}{8}$

$V = 3 \times 27$

$V = 81$ cm³

(4)

△ABCにおいて、AB = ACなので、△ABCは二等辺三角形である。

∠ABC = ∠ACB = 70°

∠BAC = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°

円周角の定理より、∠BACに対する円周角は∠BOCの中心角の半分である。

∠BOC = 2 × ∠BAC = 2 × 40° = 80°

△OBCにおいて、OB = OC (円の半径) なので、△OBCは二等辺三角形である。

∠OBC = ∠OCB = (180° - 80°)/2 = 100°/2 = 50°

∠ABO = ∠ABC - ∠OBC = 70° - 50° = 20°

∠xは弧AOに対する円周角なので、中心角の半分になる。

∠x = ∠ABO = 20°

3. 最終的な答え

(3) 81 cm³

(4) 20°