台形ABCDに円O1と円O2が内接している。円O1は点E, F, G, Hで辺AB, BC, CD, DAに接し、円O2は点I, Jで辺BC, CGに接している。CO1 = 15であり、円O1の半径が3であるとき、以下の問いに答える。 (1) 円O2の半径を求めよ。 (2) 線分DHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDに円O1と円O2が内接している。円O1は点E, F, G, Hで辺AB, BC, CD, DAに接し、円O2は点I, Jで辺BC, CGに接している。CO1 = 15であり、円O1の半径が3であるとき、以下の問いに答える。

(1) 円O2の半径を求めよ。

(2) 線分DHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円O2の半径を求める。

点O1からBCに下ろした垂線の足をKとする。すると、O1K = 3。

また、O2からBCに下ろした垂線の足をIとする。円O2の半径をrとする。するとO2I = r。

三角形CO1Kは直角三角形である。$CO_1 = 15$であり、$O_1K = 3$なので、三平方の定理より$CK = \sqrt{15^2 - 3^2} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$。

点O1からO2Iに下ろした垂線の足をLとすると、O1O2 = 3 + r。

O1L = CK = $6\sqrt{6}$であり、O2L = |O1K - O2I| = |3 - r|。

三角形O1O2Lは直角三角形である。三平方の定理より、

$(3+r)^2 = (6\sqrt{6})^2 + (3-r)^2$

$9 + 6r + r^2 = 216 + 9 - 6r + r^2$

$12r = 216$

$r = 18$

したがって、円O2の半径は18である。

(2) 線分DHの長さを求める。

四角形AEBFは正方形なので、AE = AF = 3。

AD = AH + HDであり、AB = AE + EBである。

また、DH = DGである。

円O1の半径は3なので、O1A = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$である。

したがって、AD = AH + HD。

円O1は台形ABCDに内接しているので、AB + CD = AD + BCである。

AH = xとすると、DG = xである。CG = 15 - rであり、BC = BF + FI + IC = 3+FI+ICである。

また、AD + BC = AB + CDなので、AD + 3 + BI + IC = AB + CG+GD。

CG = CJであり、CI = CJなので、CG = CI。

$\angle{BCO_2}=\angle{GCO_2}$なので、$CO_2$は$\angle{BCG}$の二等分線である。

$\triangle CO_1K \sim \triangle CO_2I$であるので、$CI/CK = O_2I/O_1K=r/3$となり、$CI=CG$である。

したがって$CG/6\sqrt{6}=18/3 = 6$なので$CG = 36\sqrt{6}$.

これはありえないため解法が違う。

円O1はADとABに接しているので、$\angle EAO_1 = \angle HAO_1=45^{\circ}$となる。

したがって、円O1の中心は$\angle A$の二等分線上にある。

$CO_1=15$なので、$\triangle ABE \sim \triangle CDG$とは言えない。

AH = xとすると、AD=x+DHなので、DH = AD-xである。

$O_1H = 3$より、$AH=x$とすると、$O_1A = \sqrt{2}x$。

$O_1A = \sqrt{(AH)^2 + (AE)^2}$となる。$AE=3$

$O_1C=15$.

また、$CO_2=y$.

$AD + BC = AB+CD$

3. 最終的な答え

(1) 円O2の半径：18

(2) 線分DHの長さ：3