関数 $f(x) = |x|$ は微分可能かどうかを問われています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ は微分可能かどうかを問われています。

2. 解き方の手順

$|x|$ は、$x$ の値によって定義が変わります。

$x > 0$ のとき、$|x| = x$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$

$x = 0$ のとき、$|x| = 0$

まず、$x \neq 0$ のときの微分可能性を考えます。

$x > 0$ のとき、$f(x) = x$ なので、$f'(x) = 1$ です。

$x < 0$ のとき、$f(x) = -x$ なので、$f'(x) = -1$ です。

次に、$x = 0$ での微分可能性を調べます。微分可能であるためには、左側極限と右側極限が一致する必要があります。

右側極限：

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = 1$

左側極限：

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h}{h} = -1$

右側極限と左側極限が一致しないため、$x = 0$ において微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = |x|$ は、$x=0$ で微分可能ではありません。

したがって、すべての $x$ に対して微分可能であるとは言えません。