関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ が与えられている。区間 $a < x < b$ で $h'(x) > 0$ ならば、$h(x)$ は区間 $a \leq x \leq b$ で増加すると言える。なぜ $a \leq x \leq b$ のように不等号に等号が付くのかという質問です。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ が与えられている。区間 $a < x < b$ で $h'(x) > 0$ ならば、$h(x)$ は区間 $a \leq x \leq b$ で増加すると言える。なぜ $a \leq x \leq b$ のように不等号に等号が付くのかという質問です。

2. 解き方の手順

関数 $h(x)$ が区間 $(a, b)$ で微分可能で、$h'(x) > 0$ であるとします。このとき、$h(x)$ は区間 $(a, b)$ で狭義単調増加です。つまり、$a < x_1 < x_2 < b$ ならば $h(x_1) < h(x_2)$ が成り立ちます。

次に、$x = a$ と $x = b$ における $h(x)$ の振る舞いを考えます。$h'(x) > 0$ は開区間 $(a, b)$ でのみ仮定されており、$x = a$ や $x = b$ での $h'(x)$ の値については何も言及されていません。

しかし、$h(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であると仮定すると、$h(x)$ は区間 $[a, b]$ で単調増加になります。連続性により、$x$ が $a$ に近づくにつれて $h(x)$ は $h(a)$ に近づき、$x$ が $b$ に近づくにつれて $h(x)$ は $h(b)$ に近づきます。

したがって、$a \leq x_1 < x_2 \leq b$ ならば $h(x_1) \leq h(x_2)$ が成り立ちます。これは、$h(x)$ が区間 $[a, b]$ で広義単調増加であることを意味します。

$h(x)$ が $a$ または $b$ で連続でない場合、例えば、$x=a$で不連続の場合、$\lim_{x \to a^+}h(x) > h(a)$ となる可能性があり、この場合、$h(x)$は$a$を含む区間で単調増加であるとは言えません。

一般的に、$h'(x)>0$ (strictly greater than zero) である場合、$h(x)$は区間内で単調増加であり、端点を含む区間でも単調増加であり続けるためには、連続性が重要な役割を果たします。

3. 最終的な答え

区間 $(a, b)$ で $h'(x) > 0$ の場合、$h(x)$ は $(a, b)$ で単調増加です。さらに、$h(x)$ が $[a, b]$ で連続ならば、$h(x)$ は $[a, b]$ で（広義）単調増加となります。そのため、$a \leq x \leq b$ のように等号が付くのは、$h(x)$ の連続性と単調増加性を保つためです。言い換えれば、連続な関数において、微分が正である区間で単調増加である性質を、区間の端点まで拡張できるからです。