三角形ABCにおいて、点P, Rがそれぞれ辺BC, ABを $BC:CP = 9:1$, $AR:RB = 1:3$ の比に内分するとき、線分AQ:QCを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点P, Rがそれぞれ辺BC, ABを $BC:CP = 9:1$, $AR:RB = 1:3$ の比に内分するとき、線分AQ:QCを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使うことで解くことができます。

今回はメネラウスの定理を使用します。

三角形ABQに直線RPが交わっているのでメネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

各辺の比率を代入します。

$AR:RB = 1:3$ より $\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$

$BC:CP = 9:1$ より $\frac{BC}{CP} = \frac{9}{1}$ です。

$BP = BC-PC$ より $BP:PC = 8:1$ だから $\frac{BP}{PC} = \frac{8}{1}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{1} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{8}{3} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

CQ:QA = 3:8