袋の中に赤玉3個、白玉2個、黒玉1個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出す。赤玉1個につき1点、白玉1個につき2点、黒玉1個につき3点もらえるとき、もらえる合計点の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉2個、黒玉1個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出す。赤玉1個につき1点、白玉1個につき2点、黒玉1個につき3点もらえるとき、もらえる合計点の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2個の玉を取り出す組み合わせの総数を計算します。

袋の中には全部で $3+2+1=6$ 個の玉が入っているので、2個取り出す組み合わせは ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

次に、各組み合わせで得られる点数と、その組み合わせになる確率を計算します。

* 赤玉2個：点数 $1+1=2$ 点。確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_6C_2} = \frac{3}{15}$

* 赤玉1個、白玉1個：点数 $1+2=3$ 点。確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{{}_6C_2} = \frac{3 \times 2}{15} = \frac{6}{15}$

* 赤玉1個、黒玉1個：点数 $1+3=4$ 点。確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_1C_1}{{}_6C_2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{3}{15}$

* 白玉2個：点数 $2+2=4$ 点。確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{1}{15}$

* 白玉1個、黒玉1個：点数 $2+3=5$ 点。確率は $\frac{{}_2C_1 \times {}_1C_1}{{}_6C_2} = \frac{2 \times 1}{15} = \frac{2}{15}$

期待値は、各点数と確率の積の合計で求められます。

$E = 2 \times \frac{3}{15} + 3 \times \frac{6}{15} + 4 \times \frac{3}{15} + 4 \times \frac{1}{15} + 5 \times \frac{2}{15}$

$E = \frac{6}{15} + \frac{18}{15} + \frac{12}{15} + \frac{4}{15} + \frac{10}{15} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$ 点