あるクラスの生徒35人を対象にした1日の家庭学習時間のアンケート結果が度数分布表にまとめられています。中央値（メジアン）が2.5時間、最頻値（モード）が3.5時間であるとき、$y$の値を求めます。

1. 問題の内容

あるクラスの生徒35人を対象にした1日の家庭学習時間のアンケート結果が度数分布表にまとめられています。中央値（メジアン）が2.5時間、最頻値（モード）が3.5時間であるとき、$y$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、度数分布表から$x$と$y$の関係を求めます。

度数の合計が35人なので、

$3 + 7 + x + 9 + y + 2 = 35$

$x + y + 21 = 35$

$x + y = 14$

次に、中央値（メジアン）が2.5時間であることから、$x$の条件を考えます。35人のうち中央の生徒は18番目の生徒です。

0以上1未満の生徒が3人、1以上2未満の生徒が7人なので、合計10人です。中央値が2.5時間なので、18番目の生徒は2以上3未満の階級に入っている必要があります。もし、2未満の生徒数が18人を超えてしまうと中央値は2時間未満になってしまうため、$3 + 7 + x \geq 18$が成り立つ必要があります。従って、$10 + x \geq 18$なので、$x \geq 8$となります。

次に、最頻値（モード）が3.5時間であることから、$x$と$y$の大小関係を考えます。最頻値は最も度数の多い階級の値なので、3以上4未満の階級が最頻値の階級となります。従って、$x$の値が他の階級の度数よりも大きくなければなりません。つまり、$x>3, x>7, x>9, x>y, x>2$が成り立つ必要があります。つまり、$x$は$y$と$9$より大きい必要があります。

$x + y = 14$と$x>9$を満たす整数解を考えます。

$x \geq 10$なので、$y=14-x \leq 4$となります。また、$x>y$より、$x>14-x$なので、$2x>14$, よって$x>7$です。

この条件と$x+y=14$から、考えられる組み合わせは

$(x,y) = (10,4), (11,3), (12,2), (13,1), (14,0)$

となります。

最頻値が3.5であるためには、3以上4未満の階級の度数である$x$が最も大きい必要があります。このとき、$x>9$であり、他の階級の度数より大きい必要があるので、$x>3, x>7, x>9, x>y, x>2$をすべて満たしている必要があります。

上記の候補の中で、$x>y$を満たす必要があります。

$x = 10, y = 4$の場合、$x>y$を満たします。

$x = 11, y = 3$の場合、$x>y$を満たします。

$x = 12, y = 2$の場合、$x>y$を満たします。

$x = 13, y = 1$の場合、$x>y$を満たします。

$x = 14, y = 0$の場合、$x>y$を満たします。

中央値が2.5時間である条件は、$3+7+x \ge 18$であること、つまり、$x \ge 8$であることでした。

上記の全ての候補$(x, y)$はこの条件を満たしています。

したがって、$x$が最大となるのは$x=10$です。よって、$y=14-10=4$

3. 最終的な答え

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