袋の中に赤球3個と白球7個が入っている。この袋から2個の球を取り出すとき、取り出した2個の球の色が同じになる確率を、以下の3つの場合について求める。 (ア) 2個同時に取り出す場合 (イ) 最初に1個取り出し、袋に戻してから2個目を取り出す場合 (ウ) 最初に1個取り出し、袋に戻さずに2個目を取り出す場合

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個と白球7個が入っている。この袋から2個の球を取り出すとき、取り出した2個の球の色が同じになる確率を、以下の3つの場合について求める。

(ア) 2個同時に取り出す場合

(イ) 最初に1個取り出し、袋に戻してから2個目を取り出す場合

(ウ) 最初に1個取り出し、袋に戻さずに2個目を取り出す場合

2. 解き方の手順

(ア) 2個同時に取り出す場合

全事象は、10個の球から2個を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通り。

2個とも赤球である場合は、$_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

2個とも白球である場合は、$_{7}C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。

よって、2個とも同じ色である確率は、$\frac{3+21}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$。

(イ) 最初に1個取り出し、袋に戻してから2個目を取り出す場合

1回目に赤球を取り出す確率は$\frac{3}{10}$。このとき、袋に戻すので、2回目に赤球を取り出す確率は$\frac{3}{10}$。よって、2個とも赤球である確率は$\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$。

1回目に白球を取り出す確率は$\frac{7}{10}$。このとき、袋に戻すので、2回目に白球を取り出す確率は$\frac{7}{10}$。よって、2個とも白球である確率は$\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}$。

よって、2個とも同じ色である確率は、$\frac{9}{100} + \frac{49}{100} = \frac{58}{100} = \frac{29}{50}$。

(ウ) 最初に1個取り出し、袋に戻さずに2個目を取り出す場合

1回目に赤球を取り出す確率は$\frac{3}{10}$。このとき、袋に戻さないので、2回目に赤球を取り出す確率は$\frac{2}{9}$。よって、2個とも赤球である確率は$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$。

1回目に白球を取り出す確率は$\frac{7}{10}$。このとき、袋に戻さないので、2回目に白球を取り出す確率は$\frac{6}{9}$。よって、2個とも白球である確率は$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$。

よって、2個とも同じ色である確率は、$\frac{6}{90} + \frac{42}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$。

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{8}{15}$

(イ) $\frac{29}{50}$

(ウ) $\frac{8}{15}$