2つの変量 $x$ と $y$ があり、$x$ の分散が4、$y$ の分散が9、そして $x$ と $y$ の相関係数が0.5であることが与えられています。$x$ と $y$ の共分散を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの変量 $x$ と $y$ があり、$x$ の分散が4、$y$ の分散が9、そして $x$ と $y$ の相関係数が0.5であることが与えられています。$x$ と $y$ の共分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、共分散 $Cov(x,y)$、 $x$ の標準偏差 $\sigma_x$、$y$ の標準偏差 $\sigma_y$ を用いて、以下の式で表されます。

$r = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$

問題文より、相関係数 $r = 0.5$、$x$ の分散は4、$y$ の分散は9です。分散の平方根が標準偏差なので、$x$ の標準偏差 $\sigma_x = \sqrt{4} = 2$、$y$ の標準偏差 $\sigma_y = \sqrt{9} = 3$ となります。

上記の相関係数の式を共分散 $Cov(x,y)$ について解くと、

$Cov(x,y) = r \sigma_x \sigma_y$

となります。値を代入すると、

$Cov(x,y) = 0.5 \times 2 \times 3 = 3$

3. 最終的な答え

$x$ と $y$ の共分散は 3 です。