あるクラスの生徒40人について、自転車を利用する人が13人、バスを利用する人が16人、自転車もバスも利用する人が5人いる。以下の人数を求めよ。 (1) 自転車もバスも利用しない人 (2) 自転車は利用するが、バスは利用しない人

1. 問題の内容

あるクラスの生徒40人について、自転車を利用する人が13人、バスを利用する人が16人、自転車もバスも利用する人が5人いる。以下の人数を求めよ。

(1) 自転車もバスも利用しない人

(2) 自転車は利用するが、バスは利用しない人

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を集合の記号で表す。

* クラス全体の生徒の集合を $U$ とする。$n(U) = 40$。

* 自転車を利用する人の集合を $A$ とする。$n(A) = 13$。

* バスを利用する人の集合を $B$ とする。$n(B) = 16$。

* 自転車もバスも利用する人の集合は $A \cap B$ であり、$n(A \cap B) = 5$。

(1) 自転車もバスも利用しない人の人数を求める。これは、集合の言葉で言うと、$A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ の要素数 $n(\overline{A \cup B})$ を求めることになる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 13 + 16 - 5 = 24$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 24 = 16$

(2) 自転車は利用するが、バスは利用しない人の人数を求める。これは、$A$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の数であり、$n(A \cap \overline{B})$ を求める。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 13 - 5 = 8$

表を埋める：

$n(A)=13$

$n(B)=16$

$n(A \cap B)=5$

| | $B$ | $\overline{B}$ | 合計 |

| :---- | :-- | :------------- | :--- |

| $A$ | 5 | 8 | 13 |

| $\overline{A}$ | 11 | 16 | 27 |

| 合計 | 16 | 24 | 40 |

3. 最終的な答え

(1) 自転車もバスも利用しない人の人数：16人

(2) 自転車は利用するが、バスは利用しない人の人数：8人