1から3までの番号が書かれた3枚の札がある。Aさんが1枚引き、残りの2枚からBさんが1枚引く。Aさんの引いた札の番号をX, Bさんの引いた札の番号をYとする。XとYの同時分布を求めよ。

1. 問題の内容

1から3までの番号が書かれた3枚の札がある。Aさんが1枚引き、残りの2枚からBさんが1枚引く。Aさんの引いた札の番号をX, Bさんの引いた札の番号をYとする。XとYの同時分布を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、XとYがとりうる値の組み合わせを考える。Xは1,2,3のいずれかの値を取り、YはXの値を除いた1,2,3のいずれかの値を取る。したがって、XとYの組み合わせは(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)の6通りとなる。

次に、それぞれの組み合わせになる確率を計算する。Aさんが特定の数字を引く確率は1/3。Bさんが特定の数字を引く確率は1/2。

(X,Y) = (1,2)となる確率：Aさんが1を引く確率(1/3) * Bさんが2を引く確率(1/2) = 1/6

(X,Y) = (1,3)となる確率：Aさんが1を引く確率(1/3) * Bさんが3を引く確率(1/2) = 1/6

(X,Y) = (2,1)となる確率：Aさんが2を引く確率(1/3) * Bさんが1を引く確率(1/2) = 1/6

(X,Y) = (2,3)となる確率：Aさんが2を引く確率(1/3) * Bさんが3を引く確率(1/2) = 1/6

(X,Y) = (3,1)となる確率：Aさんが3を引く確率(1/3) * Bさんが1を引く確率(1/2) = 1/6

(X,Y) = (3,2)となる確率：Aさんが3を引く確率(1/3) * Bさんが2を引く確率(1/2) = 1/6

よって、同時分布は以下のようになる。

$P(X=1, Y=2) = 1/6$

$P(X=1, Y=3) = 1/6$

$P(X=2, Y=1) = 1/6$

$P(X=2, Y=3) = 1/6$

$P(X=3, Y=1) = 1/6$

$P(X=3, Y=2) = 1/6$

3. 最終的な答え

XとYの同時分布は以下の通りです。

| X\Y | 1 | 2 | 3 |

|-----|-----|-----|-----|

| 1 | 0 | 1/6 | 1/6 |

| 2 | 1/6 | 0 | 1/6 |

| 3 | 1/6 | 1/6 | 0 |