9枚のカード（ハート3枚、ダイヤ6枚）から、1枚ずつ2回カードを引く。ただし、1度引いたカードは元に戻さない。 事象A：1度目に引いたカードがハートである。 事象B：1度目に引いたカードがダイヤである。 事象C：2度目に引いたカードがダイヤである。 条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

1. 問題の内容

9枚のカード（ハート3枚、ダイヤ6枚）から、1枚ずつ2回カードを引く。ただし、1度引いたカードは元に戻さない。

事象A：1度目に引いたカードがハートである。

事象B：1度目に引いたカードがダイヤである。

事象C：2度目に引いたカードがダイヤである。

条件付き確率 $P_A(C)$ と $P_B(C)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

条件付き確率の定義より、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)}$

まず、$P(A)$、$P(B)$を求める。

$P(A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$P(B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

次に、$P(A \cap C)$を求める。1回目にハートを引き、2回目にダイヤを引く確率。

$P(A \cap C) = P(A) \times P(C|A) = \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

同様に、$P(B \cap C)$を求める。1回目にダイヤを引き、2回目にダイヤを引く確率。

$P(B \cap C) = P(B) \times P(C|B) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{12}$

したがって、

$P_A(C) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$

$P_B(C) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

$P_A(C) = \frac{3}{4}$

$P_B(C) = \frac{5}{8}$