パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^7$ の展開式を求める問題です。

1. 問題の内容

パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^7$ の展開式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、パスカルの三角形の7乗の展開に必要な段まで書き出します。パスカルの三角形の各行は二項係数に対応しています。

```

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

```

上記のパスカルの三角形の8行目（一番下の行）の数字が、$(a+b)^7$の展開式の係数になります。

すなわち、係数は1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 です。

$(a+b)^7$ の展開式は、以下のようになります。

$a$ の次数は 7 から始まり 0 まで減少し、$b$ の次数は 0 から始まり 7 まで増加します。

$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7b^0 + 7 \cdot a^6b^1 + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot a^1b^6 + 1 \cdot a^0b^7$

これを整理すると、

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

3. 最終的な答え

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$