xy平面上に点A$(a, 0)$、B$(b, 0)$、C$(c, 0)$、D$(0, d)$、O$(0, 0)$ があり、$0 < \frac{d}{\sqrt{3}} < a < b < c < d$ が成り立つ。$\angle DAO = \alpha$、$\angle DBO = \beta$、$\angle DCO = \gamma$とする。 (1) $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta, \sin \gamma, \cos \gamma$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。 (2) $\sin (\alpha + \beta + \gamma)$ と $\cos (\alpha + \beta + \gamma)$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。 (3) $\alpha + \beta + \gamma$ のとる値の範囲を求めて、$\sin (\alpha + \beta + \gamma) > 0$ かつ $\cos (\alpha + \beta + \gamma) < 0$ が成り立つことを示せ。 (4) 不等式 $\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}} < d < \sqrt{ab + bc + ca}$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

xy平面上に点A$(a, 0)$、B$(b, 0)$、C$(c, 0)$、D$(0, d)$、O$(0, 0)$ があり、$0 < \frac{d}{\sqrt{3}} < a < b < c < d$ が成り立つ。$\angle DAO = \alpha$、$\angle DBO = \beta$、$\angle DCO = \gamma$とする。

(1) $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta, \sin \gamma, \cos \gamma$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。

(2) $\sin (\alpha + \beta + \gamma)$ と $\cos (\alpha + \beta + \gamma)$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。

(3) $\alpha + \beta + \gamma$ のとる値の範囲を求めて、$\sin (\alpha + \beta + \gamma) > 0$ かつ $\cos (\alpha + \beta + \gamma) < 0$ が成り立つことを示せ。

(4) 不等式 $\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}} < d < \sqrt{ab + bc + ca}$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DAO$, $\triangle DBO$, $\triangle DCO$ は直角三角形であるから、三角関数の定義より、

$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}}$

$\cos \alpha = \frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2}}$

$\sin \beta = \frac{b}{\sqrt{b^2 + d^2}}$

$\cos \beta = \frac{d}{\sqrt{b^2 + d^2}}$

$\sin \gamma = \frac{c}{\sqrt{c^2 + d^2}}$

$\cos \gamma = \frac{d}{\sqrt{c^2 + d^2}}$

(2) 加法定理を用いる。

$\sin (\alpha + \beta + \gamma) = \sin (\alpha + \beta) \cos \gamma + \cos (\alpha + \beta) \sin \gamma = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \cos \gamma + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \sin \gamma$

$\cos (\alpha + \beta + \gamma) = \cos (\alpha + \beta) \cos \gamma - \sin (\alpha + \beta) \sin \gamma = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \cos \gamma - (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \sin \gamma$

これらの式に(1)で求めた値を代入する。

$\sin(\alpha+\beta+\gamma) = (\frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{d}{\sqrt{b^2+d^2}} + \frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{b}{\sqrt{b^2+d^2}}) \frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} + (\frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{d}{\sqrt{b^2+d^2}} - \frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{b}{\sqrt{b^2+d^2}}) \frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}} = \frac{ad^2+bd^2}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}} + \frac{cd^2-abc}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

$= \frac{d^2(a+b+c)-abc}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

$\cos(\alpha+\beta+\gamma) = (\frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{d}{\sqrt{b^2+d^2}} - \frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{b}{\sqrt{b^2+d^2}}) \frac{d}{\sqrt{c^2+d^2}} - (\frac{a}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{d}{\sqrt{b^2+d^2}} + \frac{d}{\sqrt{a^2+d^2}} \frac{b}{\sqrt{b^2+d^2}}) \frac{c}{\sqrt{c^2+d^2}}$

$=\frac{d^3 - abd}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}} - \frac{acd + bcd}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

$= \frac{d^3 - d(ab+bc+ca)}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

(3) $0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}$ である。$a < b < c < d$ より、$0 < \alpha < \beta < \gamma < \frac{\pi}{2}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) > 0$ かつ $\cos(\alpha + \beta + \gamma) < 0$ が成り立つのは、$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta + \gamma < \pi$ のときである。

$\alpha + \beta + \gamma > \frac{\pi}{2}$ を示す。

$\alpha + \beta + \gamma = \arctan(\frac{a}{d}) + \arctan(\frac{b}{d}) + \arctan(\frac{c}{d})$

$0 < a < b < c < d$ より、$\arctan(\frac{a}{d}) > 0$、$\arctan(\frac{b}{d}) > 0$、$\arctan(\frac{c}{d}) > 0$

$0 < \frac{d}{\sqrt{3}} < a$ より $d < \sqrt{3}a$, $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{a}{d}$, $\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) < \arctan(\frac{a}{d}) = \alpha$, $\frac{\pi}{6} < \alpha$

したがって、$\alpha + \beta + \gamma > 3\alpha > 3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\alpha + \beta + \gamma < \pi$ を示す。

$\alpha + \beta + \gamma < \frac{\pi}{2}$ と仮定する。すると、$\tan(\alpha+\beta+\gamma)$ は正の値を持ち、$d^2(a+b+c)>abc$ かつ $d^2(ab+bc+ca) > d^3$

$\frac{a}{d} < 1$, $\frac{b}{d} < 1$, $\frac{c}{d} < 1$ より $d^2(a+b+c) > abc$ および $d^2(ab+bc+ca) > d^3$ は成り立つ。

$\alpha + \beta + \gamma > \frac{\pi}{2}$ かつ $\alpha + \beta + \gamma < \pi$ なので、$\sin(\alpha + \beta + \gamma) > 0$ かつ $\cos(\alpha + \beta + \gamma) < 0$

(4) $\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}} < d$ を示す。

$0 < \alpha + \beta + \gamma < \pi$

$d^2 > \frac{abc}{a+b+c}$ より $d^2(a+b+c) > abc$

$d < \sqrt{ab + bc + ca}$ を示す。

$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta + \gamma < \pi$

$\alpha + \beta + \gamma$ がこの範囲にあるとき、$\cos(\alpha + \beta + \gamma) < 0$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{d^3 - d(ab+bc+ca)}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}} < 0$

$d^3 < d(ab+bc+ca)$

$d^2 < ab+bc+ca$

$d < \sqrt{ab+bc+ca}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}}$

$\cos \alpha = \frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2}}$

$\sin \beta = \frac{b}{\sqrt{b^2 + d^2}}$

$\cos \beta = \frac{d}{\sqrt{b^2 + d^2}}$

$\sin \gamma = \frac{c}{\sqrt{c^2 + d^2}}$

$\cos \gamma = \frac{d}{\sqrt{c^2 + d^2}}$

(2)

$\sin(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{d^2(a+b+c)-abc}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

$\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{d^3 - d(ab+bc+ca)}{\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+d^2)(c^2+d^2)}}$

(3)

$\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta + \gamma < \pi$

(4)

$\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}} < d < \sqrt{ab + bc + ca}$