与えられた定義 $x! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times x$ のもとで、以下の問題を解きます。 (1) $6!$ の値を求めます。 (2) $x!$ が $121$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。 (3) $x!$ が $10000$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた定義 $x! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times x$ のもとで、以下の問題を解きます。

(1) $6!$ の値を求めます。

(2) $x!$ が $121$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。

(3) $x!$ が $10000$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $6!$ の値を計算します。

$6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$

(2) $x!$ が $121 = 11 \times 11 = 11^2$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。

$x!$ が $11^2$ を含むためには、$x!$ の中に少なくとも2つの $11$ の倍数が含まれている必要があります。

$x \geq 11$ であれば、$11$ は $x!$ に含まれます。

次に、$22$ は $22!$ に含まれます。したがって、$x!$ が $11^2$ で割り切れるためには、$x \geq 22$である必要があります。

$21!$では、$11$は一回しか現れないため、$121$で割り切れません。

$22!$では、$11$と$22$が現れるため、$11 \times 22 = 11 \times 2 \times 11 = 2 \times 11^2$となり、$121$で割り切れます。

したがって、$x=22$が答えです。

(3) $x!$ が $10000 = 10^4 = (2 \times 5)^4 = 2^4 \times 5^4$ で割り切れる最小の $x$ の値を求めます。

$x!$ が $5^4$ で割り切れるためには、$x!$ の中に少なくとも4つの $5$ の倍数が含まれている必要があります。

$5, 10, 15, 20$ が5の倍数なので、$20!$ は $5^4$ で割り切れます。

$20! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 10 \times \cdots \times 15 \times \cdots \times 20$

$20!$ における $5$ の個数は、$\lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor = 4 + 0 = 4$ 個です。

同様に、$20!$ における $2$ の個数は、$\lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor = 10 + 5 + 2 + 1 = 18$ 個です。

したがって、$20!$ は $2^{18} \times 5^4$ を含み、$10000 = 2^4 \times 5^4$ で割り切れます。

$19!$ では、5の倍数は5,10,15の3つなので、5は3回しか現れません。よって、$19!$ は$5^4$で割り切れません。

したがって、$x=20$が答えです。

3. 最終的な答え

(1) 720

(2) 22

(3) 20