$m + n$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ が奇数であることを対偶を用いて証明する問題です。$m+n = 2k+1$ と表せるとき、$m^2 + n^2 = 2(2k^2 + 2k - mn) + 1$ であることを示すようです。

1. 問題の内容

$m + n$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ が奇数であることを対偶を用いて証明する問題です。$m+n = 2k+1$ と表せるとき、$m^2 + n^2 = 2(2k^2 + 2k - mn) + 1$ であることを示すようです。

2. 解き方の手順

与えられた式 $m + n = 2k + 1$ を用いて、$m^2 + n^2$ を計算し、奇数であることを示します。

まず、$m^2 + n^2$ を $(m+n)^2 - 2mn$ と変形します。これは以下の式変形により示されます。

$m^2 + n^2 = m^2 + 2mn + n^2 - 2mn = (m+n)^2 - 2mn$

次に、$m + n = 2k + 1$ を代入します。

$m^2 + n^2 = (2k+1)^2 - 2mn = 4k^2 + 4k + 1 - 2mn = 2(2k^2 + 2k - mn) + 1$

ここで、括弧の中身 $2k^2 + 2k - mn$ は整数なので、$2(2k^2 + 2k - mn) + 1$ は奇数であることがわかります。したがって、$m^2 + n^2$ は奇数となります。

3. 最終的な答え

$m + n$ が奇数のとき、$m^2 + n^2$ は奇数である。