$n$ は自然数とする。$n^2+n+6$ と $n+5$ の最大公約数として考えられる数をすべて求める。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。$n^2+n+6$ と $n+5$ の最大公約数として考えられる数をすべて求める。

2. 解き方の手順

最大公約数を $d$ とすると、$d$ は $n^2+n+6$ と $n+5$ を割り切る。

よって、$n \equiv -5 \pmod{d}$ である。

$n^2+n+6 = (n+5)(n-4) + 26$ より、$d$ は $n^2+n+6$ と $n+5$ の両方を割り切るので、$d$ は 26 を割り切る。

つまり、$d$ は 26 の約数である。26 の約数は 1, 2, 13, 26 である。

それぞれの場合について、$n^2+n+6$ と $n+5$ の最大公約数がそれらの値になりうるかを調べる。

* $d=1$ のとき：$n=1$ のとき、$n^2+n+6 = 8$ と $n+5 = 6$ の最大公約数は 2 である。

$n=2$ のとき、$n^2+n+6 = 12$ と $n+5 = 7$ の最大公約数は 1 である。したがって、1 は最大公約数としてあり得る。

* $d=2$ のとき：$n^2+n+6$ が偶数、かつ $n+5$ が偶数になる必要がある。

$n^2+n = n(n+1)$ であり、これは常に偶数であるから、$n^2+n+6$ は常に偶数である。

$n+5$ が偶数になるためには、$n$ が奇数である必要がある。したがって、2 は最大公約数としてあり得る。例えば、$n=1$ のとき、$n^2+n+6=8$ と $n+5=6$ の最大公約数は 2 である。

* $d=13$ のとき：$n \equiv -5 \pmod{13}$ より、$n = 13k - 5$（$k$ は自然数）と表せる。

$n+5 = 13k$ となり、$n+5$ は 13 の倍数である。

$n^2+n+6 = (13k-5)^2 + (13k-5) + 6 = 169k^2 - 130k + 25 + 13k - 5 + 6 = 169k^2 - 117k + 26 = 13(13k^2 - 9k + 2)$ となり、$n^2+n+6$ も 13 の倍数である。

したがって、13 は最大公約数としてあり得る。例えば、$k=1$ のとき、$n=8$ であり、$n^2+n+6 = 64 + 8 + 6 = 78 = 13 \cdot 6$、$n+5 = 13$ となるので、最大公約数は 13 である。

* $d=26$ のとき：$n \equiv -5 \pmod{26}$ より、$n = 26k - 5$（$k$ は自然数）と表せる。

$n+5 = 26k$ となり、$n+5$ は 26 の倍数である。

$n^2+n+6 = (26k-5)^2 + (26k-5) + 6 = 676k^2 - 260k + 25 + 26k - 5 + 6 = 676k^2 - 234k + 26 = 26(26k^2 - 9k + 1)$ となり、$n^2+n+6$ も 26 の倍数である。

したがって、26 は最大公約数としてあり得る。例えば、$k=1$ のとき、$n=21$ であり、$n+5 = 26$、$n^2+n+6 = 441 + 21 + 6 = 468 = 26 \cdot 18$ となるので、最大公約数は 26 である。

3. 最終的な答え

1, 2, 13, 26