(1) 4で割ると1余り、7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。 (2) 11で割ると2余り、13で割ると5余る4桁の自然数の中で最小のものを求める。

1. 問題の内容

(1) 4で割ると1余り、7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。

(2) 11で割ると2余り、13で割ると5余る4桁の自然数の中で最小のものを求める。

2. 解き方の手順

(1)

4で割ると1余り、7で割ると3余る自然数を$n$とする。

$n$ はある整数 $x$ と $y$ を用いて次のように表せる。

$n = 4x + 1$

$n = 7y + 3$

したがって

$4x + 1 = 7y + 3$

$4x = 7y + 2$

$x = \frac{7y+2}{4}$

$x = \frac{4y+3y+2}{4}$

$x = y + \frac{3y+2}{4}$

$3y+2$ が4の倍数になるように $y$ の値を定める。

$y=2$のとき $3y+2=8$ となり条件を満たす。

$y=2$のとき、 $x = \frac{7(2)+2}{4} = \frac{16}{4} = 4$

したがって、$n = 4(4)+1 = 17$ または $n = 7(2)+3 = 17$ がひとつの解である。

$n = 4x + 1 = 7y + 3$ を満たす $n$ は、$4$ と $7$ の最小公倍数である $28$ を用いて、$28k + 17$ （$k$ は整数）と表せる。

3桁の自然数で最大のものなので、$28k + 17 < 1000$ を満たす最大の $k$ を求める。

$28k < 983$

$k < \frac{983}{28} \approx 35.1$

$k=35$のとき、$n = 28(35) + 17 = 980 + 17 = 997$

(2)

11で割ると2余り、13で割ると5余る自然数を$m$とする。

$m$ はある整数 $a$ と $b$ を用いて次のように表せる。

$m = 11a + 2$

$m = 13b + 5$

したがって

$11a + 2 = 13b + 5$

$11a = 13b + 3$

$a = \frac{13b+3}{11}$

$a = \frac{11b+2b+3}{11}$

$a = b + \frac{2b+3}{11}$

$2b+3$ が11の倍数になるように $b$ の値を定める。

$b=4$のとき $2b+3=11$ となり条件を満たす。

$b=4$のとき、 $a = \frac{13(4)+3}{11} = \frac{55}{11} = 5$

したがって、$m = 11(5)+2 = 57$ または $m = 13(4)+5 = 57$ がひとつの解である。

$m = 11a + 2 = 13b + 5$ を満たす $m$ は、$11$ と $13$ の最小公倍数である $143$ を用いて、$143k + 57$ （$k$ は整数）と表せる。

4桁の自然数で最小のものなので、$143k + 57 \ge 1000$ を満たす最小の $k$ を求める。

$143k \ge 943$

$k \ge \frac{943}{143} \approx 6.59$

$k=7$のとき、$m = 143(7) + 57 = 1001 + 57 = 1058$

3. 最終的な答え

(1) 997

(2) 1058