与えられた6つの一次不定方程式について、全ての整数解を求める。

1. 問題の内容

与えられた6つの一次不定方程式について、全ての整数解を求める。

2. 解き方の手順

各方程式について、以下の手順で整数解を求める。

(1) 拡張ユークリッドの互除法を用いて、特殊解を1つ求める。

(2) 特殊解から一般解を導き出す。

(3) 58x + 47y = 2について

まず、58と47に対してユークリッドの互除法を行う。

$58 = 47 \cdot 1 + 11$

$47 = 11 \cdot 4 + 3$

$11 = 3 \cdot 3 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

したがって、gcd(58, 47) = 1。

次に、拡張ユークリッドの互除法を行う。

$1 = 3 - 2 \cdot 1$

$1 = 3 - (11 - 3 \cdot 3) \cdot 1 = 3 \cdot 4 - 11 \cdot 1$

$1 = (47 - 11 \cdot 4) \cdot 4 - 11 \cdot 1 = 47 \cdot 4 - 11 \cdot 17$

$1 = 47 \cdot 4 - (58 - 47 \cdot 1) \cdot 17 = 47 \cdot 21 - 58 \cdot 17$

したがって、$58 \cdot (-17) + 47 \cdot (21) = 1$。

両辺を2倍すると、$58 \cdot (-34) + 47 \cdot (42) = 2$。

よって、$x_0 = -34, y_0 = 42$は特殊解の一つである。

一般解は、

$x = -34 + 47k$

$y = 42 - 58k$

ここで、$k$は任意の整数。

(5) 62x - 23y = -4について

まず、62と23に対してユークリッドの互除法を行う。

$62 = 23 \cdot 2 + 16$

$23 = 16 \cdot 1 + 7$

$16 = 7 \cdot 2 + 2$

$7 = 2 \cdot 3 + 1$

したがって、gcd(62, 23) = 1。

次に、拡張ユークリッドの互除法を行う。

$1 = 7 - 2 \cdot 3$

$1 = 7 - (16 - 7 \cdot 2) \cdot 3 = 7 \cdot 7 - 16 \cdot 3$

$1 = (23 - 16 \cdot 1) \cdot 7 - 16 \cdot 3 = 23 \cdot 7 - 16 \cdot 10$

$1 = 23 \cdot 7 - (62 - 23 \cdot 2) \cdot 10 = 23 \cdot 27 - 62 \cdot 10$

したがって、$62 \cdot (-10) + 23 \cdot (27) = 1$。

両辺を-4倍すると、$62 \cdot (40) + 23 \cdot (-108) = -4$。

したがって、$62 \cdot (40) - 23 \cdot (108) = -4$。

よって、$x_0 = 40, y_0 = 108$は特殊解の一つである。

一般解は、

$x = 40 + 23k$

$y = 108 + 62k$

ここで、$k$は任意の整数。

(6) 71x + 32y = -2について

まず、71と32に対してユークリッドの互除法を行う。

$71 = 32 \cdot 2 + 7$

$32 = 7 \cdot 4 + 4$

$7 = 4 \cdot 1 + 3$

$4 = 3 \cdot 1 + 1$

したがって、gcd(71, 32) = 1。

次に、拡張ユークリッドの互除法を行う。

$1 = 4 - 3 \cdot 1$

$1 = 4 - (7 - 4 \cdot 1) \cdot 1 = 4 \cdot 2 - 7 \cdot 1$

$1 = (32 - 7 \cdot 4) \cdot 2 - 7 \cdot 1 = 32 \cdot 2 - 7 \cdot 9$

$1 = 32 \cdot 2 - (71 - 32 \cdot 2) \cdot 9 = 32 \cdot 20 - 71 \cdot 9$

したがって、$71 \cdot (-9) + 32 \cdot (20) = 1$。

両辺を-2倍すると、$71 \cdot (18) + 32 \cdot (-40) = -2$。

よって、$x_0 = 18, y_0 = -40$は特殊解の一つである。

一般解は、

$x = 18 + 32k$

$y = -40 - 71k$

ここで、$k$は任意の整数。

3. 最終的な答え

(3) $x = -34 + 47k$, $y = 42 - 58k$ ($k$は任意の整数)

(5) $x = 40 + 23k$, $y = 108 + 62k$ ($k$は任意の整数)

(6) $x = 18 + 32k$, $y = -40 - 71k$ ($k$は任意の整数)