$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数になるような整数 $n$ はいくつあるかという問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数になるような整数 $n$ はいくつあるかという問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数 $m$ になる、つまり $n^2 + 100 = m^2$ となるような整数 $n, m$ を探します。ここで $m > n \geq 0$ であることに注意します。

式を変形すると、

$m^2 - n^2 = 100$

$(m + n)(m - n) = 100$

$m + n$ と $m - n$ は整数なので、積が100になる整数の組み合わせを考えます。また、$m + n > m - n$ であり、$m + n$ と $m - n$ の偶奇は一致します（$m+n$と$m-n$を足すと$2m$なので偶数になるため）。したがって、$m+n$と$m-n$はどちらも偶数である必要があります。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

\begin{itemize}

\item $m + n = 50$, $m - n = 2$

\item $m + n = 25$, $m - n = 4$ (不適：偶奇が一致しない)

\item $m + n = 20$, $m - n = 5$ (不適：偶奇が一致しない)

\item $m + n = 10$, $m - n = 10$

\end{itemize}

上記の組み合わせについて、$m$ と $n$ を求めます。

\begin{enumerate}

\item $m + n = 50$, $m - n = 2$ の場合：

$2m = 52$, $m = 26$

$2n = 48$, $n = 24$

\item $m + n = 10$, $m - n = 10$ の場合：

$2m = 20$, $m = 10$

$2n = 0$, $n = 0$

\end{enumerate}

$n$ が負の数の場合も考慮すると、$n = -24$ も解となります。

3. 最終的な答え

$n = -24, 0, 24$ の3つ