自然数 $n$ に対して、$2^n$ が22桁であり、かつ最高位の数字が4である。$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$n$ の値を求め、さらに $2^n$ の末尾の数字を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$2^n$ が22桁であり、かつ最高位の数字が4である。$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$n$ の値を求め、さらに $2^n$ の末尾の数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、$2^n$ が22桁であることから、$10^{21} \le 2^n < 10^{22}$ が成り立つ。両辺の常用対数をとると、

$21 \le n \log_{10} 2 < 22$

$21 \le 0.3010n < 22$

$\frac{21}{0.3010} \le n < \frac{22}{0.3010}$

$69.767 \le n < 73.090$

$n$ は整数であるから、$n=70, 71, 72, 73$ のいずれかである。

次に、$2^n$ の最高位の数字が4であることから、$4 \times 10^{21} \le 2^n < 5 \times 10^{21}$ が成り立つ。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 4 + 21 \le n \log_{10} 2 < \log_{10} 5 + 21$

$2 \log_{10} 2 + 21 \le n \log_{10} 2 < \log_{10} \frac{10}{2} + 21$

$2(0.3010) + 21 \le 0.3010n < \log_{10} 10 - \log_{10} 2 + 21$

$0.6020 + 21 \le 0.3010n < 1 - 0.3010 + 21$

$21.6020 \le 0.3010n < 21.6990$

$\frac{21.6020}{0.3010} \le n < \frac{21.6990}{0.3010}$

$71.767 \le n < 72.090$

$n$ は整数であるから、$n = 72$ である。

次に、$2^{72}$ の末尾の数字を求める。

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

$2^8 = 256$

$2^9 = 512$

$2^{10} = 1024$

末尾の数字は、$2, 4, 8, 6$ の繰り返しとなる。

$72 \div 4 = 18$ (割り切れる)

したがって、$2^{72}$ の末尾の数字は6である。

3. 最終的な答え

$n = 72$

$2^n$ の末尾の数字は6