不定積分 $\int (x-1)^2 (x+1) \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x-1)^2 (x+1) \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x-1)^2 (x+1) = (x^2 - 2x + 1)(x+1) = x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 = x^3 - x^2 - x + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x^3 - x^2 - x + 1) \, dx$

次に、各項を積分します。

$\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1$

$\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2$

$\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_3$

$\int 1 \, dx = x + C_4$

これらの結果を組み合わせると、

$\int (x^3 - x^2 - x + 1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

ここで、$C = C_1 - C_2 - C_3 + C_4$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int (x-1)^2 (x+1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C$