ベクトル $\vec{a} = (3, 0, 3)$ と $\vec{b} = (3, 4, -1)$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{3}$ であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 0, 3)$ と $\vec{b} = (3, 4, -1)$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{3}$ であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積を計算します。

外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は、次のように計算できます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \times -1) - (3 \times 4) \\ (3 \times 3) - (3 \times -1) \\ (3 \times 4) - (0 \times 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \\ 12 \end{pmatrix}$

したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (-12, 12, 12)$ です。

次に、このベクトルを正規化します。まず、ベクトルの大きさを計算します。

$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-12)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144 + 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$

次に、単位ベクトル $\vec{n}$ を計算します。

$\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{(-12, 12, 12)}{12\sqrt{3}} = \frac{(-1, 1, 1)}{\sqrt{3}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

求めるベクトル $\vec{p}$ の大きさは $\sqrt{3}$ なので、$\vec{p} = \sqrt{3}\vec{n}$ または $\vec{p} = -\sqrt{3}\vec{n}$ となります。

$\vec{p} = \sqrt{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = (-1, 1, 1)$

$\vec{p} = -\sqrt{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = (1, -1, -1)$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $(-1, 1, 1)$ または $(1, -1, -1)$ です。