不定積分 $\int (x-1)^2(x+1) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x-1)^2(x+1) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x-1)^2(x+1) = (x^2 - 2x + 1)(x+1) = x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 = x^3 - x^2 - x + 1$

したがって、

$\int (x-1)^2(x+1) dx = \int (x^3 - x^2 - x + 1) dx$

各項ごとに積分を行います。

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_2$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_3$

$\int 1 dx = x + C_4$

これらの結果をまとめると、

$\int (x^3 - x^2 - x + 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$

ここで、$C = C_1 - C_2 - C_3 + C_4$ です。

3. 最終的な答え

$\int (x-1)^2(x+1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$