関数 $f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -2$ と $x = 1$ における関数の傾き（つまり、導関数の値）を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -2$ と $x = 1$ における関数の傾き（つまり、導関数の値）を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求めます。

多項式の微分は、各項ごとに $x^n$ の微分が $nx^{n-1}$ となることを利用します。

定数の微分は0です。

$f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ より、

$f'(x) = -3(3x^2) + 2x + 0 = -9x^2 + 2x$

次に、$x = -2$ と $x = 1$ における傾きを計算します。

$f'(-2) = -9(-2)^2 + 2(-2) = -9(4) - 4 = -36 - 4 = -40$

$f'(1) = -9(1)^2 + 2(1) = -9 + 2 = -7$

3. 最終的な答え

導関数の式は $f'(x) = -9x^2 + 2x$ です。

$x = -2$ での傾きは $-40$ です。

$x = 1$ での傾きは $-7$ です。