三角形ABCにおいて、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$のとき、$b$の値を求め、$b = \boxed{ア} \sqrt{\boxed{イ}}$の形で答えよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$のとき、$b$の値を求め、$b = \boxed{ア} \sqrt{\boxed{イ}}$の形で答えよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解きます。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

が成り立つというものです。

今回は、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$が与えられているので、

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

という式を立てることができます。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

であるから、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

これを$b$について解きます。

$\frac{12}{\sqrt{2}} = 2b$

$b = \frac{6}{\sqrt{2}}$

$b = \frac{6\sqrt{2}}{2}$

$b = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$b = 3\sqrt{2}$