与えられた2次関数 $y = 5x^2 - 2x + 5$ のグラフ上の点 $(-1, 12)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 5x^2 - 2x + 5$ のグラフ上の点 $(-1, 12)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、その導関数を求めます。導関数は、グラフ上の各点における接線の傾きを表します。

$y = 5x^2 - 2x + 5$ を $x$ で微分すると、

$$\frac{dy}{dx} = 10x - 2$$

次に、$x = -1$ における接線の傾きを求めます。導関数に $x = -1$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=-1} = 10(-1) - 2 = -10 - 2 = -12$$

したがって、点 $(-1, 12)$ における接線の傾きは $-12$ です。

接線の傾き $m = -12$ と、点 $(x_1, y_1) = (-1, 12)$ がわかっているので、点傾斜形を用いて接線の方程式を求めます。点傾斜形は以下の通りです。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

これに $m = -12$、$x_1 = -1$、$y_1 = 12$ を代入すると、

$y - 12 = -12(x - (-1))$

$y - 12 = -12(x + 1)$

$y - 12 = -12x - 12$

$y = -12x - 12 + 12$

$y = -12x$

3. 最終的な答え

点 $(-1, 12)$ における接線の方程式は、$y = -12x$ です。