関数 $y=3x^2-2x+1$ のグラフ上の点 $(2,9)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y=3x^2-2x+1$ のグラフ上の点 $(2,9)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y=3x^2-2x+1$ の導関数 $y'$ は、

$y' = 6x - 2$

です。

次に、点 $(2,9)$ における接線の傾きを求めるために、導関数に $x=2$ を代入します。

$y'(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10$

したがって、接線の傾きは $10$ です。

接線の傾きが $10$ で、点 $(2,9)$ を通る直線の方程式を求めます。

一般に、傾きが $m$ で点 $(x_1, y_1)$ を通る直線の方程式は、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

で表されます。

この問題の場合、$m=10$, $x_1=2$, $y_1=9$ なので、

$y - 9 = 10(x - 2)$

$y - 9 = 10x - 20$

$y = 10x - 20 + 9$

$y = 10x - 11$

したがって、接線の方程式は $y = 10x - 11$ です。

3. 最終的な答え

$y = 10x - 11$