関数 $f(x) = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 4x^2 - x - 9$

$f'(x) = 8x - 1$

次に、接点 $x = -2$ における導関数の値を計算し、接線の傾きを求めます。

$f'(-2) = 8(-2) - 1 = -16 - 1 = -17$

したがって、接線の傾きは $m = -17$ です。

接点の座標は $(-2, 9)$ であるので、接線の方程式は点傾斜式を用いて求めることができます。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (-2, 9)$ であり、$m = -17$ です。

$y - 9 = -17(x - (-2))$

$y - 9 = -17(x + 2)$

$y - 9 = -17x - 34$

$y = -17x - 34 + 9$

$y = -17x - 25$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -17x - 25$ です。